再生核 Hilbert 空閒

reproducing kernel Hilbert space

定義

集合$ Xからの複素數値函數$ X\to\Complexの成す Hilbert 空閒$ \cal Hが、以下の再生性を滿たすならば再生核 Hilbert 空閒と呼ぶ

再生性

任意の$ x\in Xに對して、任意の$ f\in\cal Hに對して$ f(x)=\braket{f|K_x}を滿たす實正定値函數である核 (kernel)$ {K_x}_{\in\cal H}が一意に存在する

$ \forall x_{\in X}\exist!{K_x}_{\in\cal H}\forall f_{\in{\cal H}}(f(x)=\braket{f|K_x})

$ K_x(\_)を$ K(\_,x)と見做せば積分核と關係する

評價汎函數$ K:X\times{\cal H}\to\Complex,(x,f)\mapsto f(x)が任意の$ fで連續であるならば再生核 Hilbert 空閒と呼ぶ

評價汎函數$ K:X\times{\cal H}\to\Complex,(x,f)\mapsto f(x)が有界作用素 (bounded operator) であるならば再生核 Hilbert 空閒と呼ぶ

例

內積$ \braket{f|g}を dot 積$ f\cdot gとすれば核$ Kは單位行列$ \delta_{ij}になる

kernel 法

RBF (動徑基底函數 (radial basis function)) kernel

Hilbert 空閒 2 點閒の norm にのみ依存する核函數

Gaussian 核$ e^{-\frac{|{\bf x}-{\bf x}'|^2}{2\sigma^2}}

熱核 - Wikipedia (heat kernel)$ K(t,x,y)=\frac 1{(4\pi t)^{\frac d 2}}e^{-\frac{|x-y|^2}{4t}}

熱核記號 (heat kernel signature)

熱傳導方程式 (heat equation)$ \frac{\partial K(t,x,y)}{\partial t}=\Delta_x K(t,x,y)

拡散方程式 - Wikipedia (diffusion equation)$ \frac{\partial\phi}{\partial t}=\nabla\cdot(D(\phi,{\bf r},t)\nabla\phi({\bf r},t))

動徑基底函數 (RBF。放射基底函數。radial basis function)

動徑函數 (radial function。球對稱函數 (spherically symmetric function))

RBF network